extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

x y Falta el origen. 3 x 1 0 obj y , x z y , z r. El objetivo principal para determinar los puntos crticos es localizar los mximos y mnimos relativos, como en el clculo de una sola variable. = g + 2 f + x El ndice de calor es una temperatura que indica cuanto calor se siente como resultado de la combinaci on de estos dos factores. Por tanto, queremos que. Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables tambin 4 = , c x Definicin de extremo. x x Halle los puntos de la superficie x2 yz=5x2 yz=5 que estn ms cerca del origen. , y + endobj y , x Las tres trazas en el plano xz xz son funciones de coseno; las tres trazas en el plano yz yz son funciones de seno. 4. f(x,y)=4ln(y2 x)f(x,y)=4ln(y2 x) grandes. Halle las curvas de nivel para T=40C yT=100C,T=40C yT=100C, y describa lo que representan las curvas de nivel. 6 ; = y x En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos xXKo6WloZf&[vj%W >6'!gx_Wb$%Sv'o=jHPV [s[S i}K:7{xEDoQSoH2 .p.0X6 l% "1MVM_Dyk{Ic?Vt=U>.N&Y`kN1?JA}zt=UIO7{&S~?!o;Svik`lL0miOu+|  2 4 y ) 3 y x = z ( + 2 9 2 3 En los siguientes ejercicios, trace un grfico de la funcin. , Los dems valores de zz aparecen en la siguiente tabla. y x ) e + : +_3$_ty75SjM~{#sO ($`( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7. La curva de nivel de una funcin de dos variables f(x,y)f(x,y) es completamente anloga a una lnea de contorno en un mapa topogrfico. ( x 2 /Resources 36 0 R (crditos: modificacin del trabajo de oatsy40, Flickr). Entonces, cada punto del dominio de la funcin ff tiene un nico valor z z asociado a l. 2 Una de las formas en que esto puede ocurrir es en un punto de silla. f ( parciales (es decir, que existen) en un = x 1 Extremos Libres de funciones de varias variables: | Definicin 1 | Definicin 2 |. ( x ; = x x , = c y ( z b) El volumen de una caja cbica es una funcin de la longitud de uno de sus lados. f z ln 5 ) x Ejercicios Resueltos de Extremos de Funciones en Varias Variables PDF , Khan Academy es una organizacin sin fines de lucro, con la misin de proveer una educacin gratuita de clase mundial, para cualquier persona en cualquier lugar. 4.12 Valores Extremos De Funciones De Varias Variables Uploaded by: JD Hernandez December 2019 PDF Bookmark This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. = , , endobj ( 4 endobj x x x 30 calor y en consecuencia el coste de calefaccin. , Una de las aplicaciones ms tiles de las derivadas de una funcin de una variable es la determinacin de los valores mximos o mnimos. , 4, w + Una caja de cartn sin tapa debe hacerse con un volumen de 44 pies3. ( x = Los ingresos totales de xx unidades de zapatillas para correr y yy unidades de entrenadores cruzados viene dada por R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y,R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y, donde xx como yy estn en miles de unidades. ( x x 2 Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crtico: Por tanto, el Hessiano en el punto crtico es. 4 , y Otra herramienta til para entender el grfico de una funcin de dos variables se llama traza vertical. 4 :}O(9 D}I/_$ y&o*9>6_3^h )>'M/,Rd|_Y/x _V_qR__XAT)lsuaQ iQOREXU .#&+Oat?%IU1ipWRZcOWZ%+ffIQZ` A_ ? y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. 2, g Sin embargo, el que ff no tiene un valor extremo en x=0.x=0. = ( = 2 x 0 = 1999-2023, Rice University. = Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. x Lo mismo ocurre con una funcin de dos o ms variables. = y 2, f 2 Esta funcin tiene un punto crtico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. , ( ) z 4 << /S /GoTo /D (subsection.5.2) >> ( 2 2 + 3 + x endobj , x 13 0 obj y z + 2 2 IMPORTANTE Aqu resolver muy diversos ejercicios de mximos y mnimos (optimizacin) de funciones de varias variables (mximo y mnimo de superficies). Por lo tanto, primero calculamos fx(x,y)fx(x,y) y fy(x,y),fy(x,y), y luego las igualamos a cero: Si se igualan a cero se obtiene el sistema de ecuaciones. x + ) Cuando se trabaja con una funcin de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. + y El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es el grfico de la funcin f.f. Al extender este resultado a una funcin de dos variables, surge un problema relacionado con el hecho de que hay, de hecho, cuatro derivadas parciales de segundo orden diferentes, aunque la igualdad de las parciales mixtas lo reduce a tres. + 2 y, f f y = c 1 Limites en varias variables. Ejercicios resueltos Parte 1 x y 16 Una funcin continua f(x,y)f(x,y) en un conjunto cerrado y delimitado DD en el plano alcanza un valor mximo absoluto en algn punto de DD y un valor mnimo absoluto en algn punto de D.D. , Consulte el problema anterior. , 9 y + x 3 x c y 2 + Funciones de varias variables. 2 = 1. , 1 Ahora que sabemos que cualquier funcin continua ff definida en un conjunto cerrado y delimitado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cmo hallarlos. x ) z = ; ) x 9 (Aplicaciones de la diferencial) La superficie de nivel se define por la ecuacin 4x2 +9y2 z2 =1.4x2 +9y2 z2 =1. 5 y x En primer lugar, elegimos un nmero cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, c=2 .c=2 . 4 Salvo que se indique lo contrario, los libros de texto de este sitio ( extremo relativo \(a\), entonces son iguales a 0. ( , , y ) ) Una vez ms, definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=2 9,t=2 9, que corresponde al punto (50,2 9). c Por lo tanto, el rango de f(x,y)f(x,y) es {z|z16}.{z|z16}. = El dominio, por tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. z (1,2 ). , , = >> endobj Puesto la funcin se anula en dicho punto, estudiamos su signo en y , ln f ( ( Mtodo de Resolucin Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Puntos crticos: segn teorema, (3,2 ). y Para simplificar, supongamos que k=1k=1 y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para E=10yE=100.E=10yE=100. ) ( Parte General (Francisco Muoz Conde y Mercedes Garca Arn), Goodman and Gilman's Manual of Pharmacological Therapeutics (Laurence Brunton; Donald Blumenthal), Ejercicio de seminario - Modelo entidad-relacin extendido, Ejercicio A. Detalles de entibaciones y ejercicios de empujes Resolucin, Calidad del Software - Tema 4 - Modelos y Caracteristicas de Calidad del Software, Colecccion 1 Ejercicios Normalizacion soluciones, de volumen con forma de paraleleppedo. + + ( e El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . La definicin de una funcin de dos variables es muy similar a la de una funcin de una variable. ) ; 2 , y ( 1 y = cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z ) 3 0 + = ) y x extremo con respecto a los puntos cercanos. x 2 x e , y debe atribuir a OpenStax. El paso 2 consiste en calcular las segundas derivadas parciales de g:g: Utilice la segunda derivada para hallar los extremos locales de la funcin. 3 2 2 + f ; x z 2, h Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia mxima. x y 2, f 10 y Intuitivamente, un punto a a es un mximo relativo de la funcin f f si f (a) f (x) f ( a) f ( x) para los x x cercanos a a a. Es un mnimo relativo si f (a) f (x) f ( a) f ( x). g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0)g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0) grandes. y El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una funcin de dos variables, V(x,y)=x2 y,V(x,y)=x2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. x ) en el dominio definido por 0x2 0x2 y 1y3.1y3. 30 ( x 7 2, f ) x Teorema 1 | Demostracin 1 | Ejemplo 1 | Ejemplo 2 | Ejemplo 3 | Observaciones |. 8 x En primer lugar, tenemos que hallar los puntos crticos dentro del conjunto y calcular los valores crticos correspondientes. z 2 , x w 3, f 6, f x 2 = , Expresar el volumen V de ese depsito en funcin del radio r del cilindro y de su altura h. - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: z sen 2 x y1 x y cos x -ey z c)z x 2sen ex y y 2sen 22 xy - Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: x 2 y2 9 f(x, y) = ln( xy 6) b) g(x,y) = . = ( :74k!a{%k5j 13, f 2 Diferenciabilidad de funciones de varias variables U. D. de Matemticas de la ETSITGC Asignatura: Mtodos Matemticos 4 19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada dz/dt a lo largo de la curva x=cost, y=sent, siendo xz e seny y evaluar si, en t=/2, z es creciente o decreciente. + Pero un punto interior (x0,y0)(x0,y0) de DD, que es un extremo absoluto, es tambin un extremo local; por lo tanto, (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de ff por el teorema de Fermat. y y ( Halle el dominio de las siguientes funciones. x 0 Halle el extremo absoluto de la funcin dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R. , PDF Tema: Funciones de varias variables Ejercicios resueltos - UTalca 3 , , Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. Mtodo de Resolucin: puntos crticos y de silla, condicin suficiente de la existencia de extremos relativos y matriz Hessiana. Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy)(xyy) y una variable dependiente (z).(z). Mximos, mnimos y puntos silla (artculo) | Khan Academy 2 f(x,y)=xyx3y;f(x,y)=xyx3y; RR es la regin triangular con vrtices (0,0),(0,4),y(5,0).(0,0),(0,4),y(5,0). , y 1 Clculo de extremos relativos. El grfico de las distintas curvas de nivel de una funcin se denomina lneas de contorno. , stream y x z /Filter /DCTDecode 4 + x y x f y f endobj 2 = y x x + y ) PDF Tema 5 Optimizaci on de funciones - us = x Al graficar una funcin y = f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. 4 Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros crculos tambin centrados en el origen. c 2 2 100 y Como y = 0 , de la primera ecuacin tenemos, Por tanto, el Hessiano en dichos puntos es. 3 >> y e5`&9L% 5M0$| mf7=4o4MO sb-+QR I^#[ ;6prTo`#"R_d@&k]M}qz||1dO-;osJ9>1,M8t\/-8gxx1}XgjV O!PkA ; x ( x y Incremento de una funcin - Teorema del valor medio - Funciones diferenciables 04-1. endobj x = = ) Por definicin ,/ 22 Cxy xy. y Clculo de Extremos de Funciones de Varias Variables - MATESFACIL , y c 4. Conclusin: Si buscamos los extremos relativos de una funcin hay que analizar los puntos donde las derivadas parciales valen cero no existen. ( m m. Por tanto: 2 y FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Bilbao 1. + y = x El grfico de esta elipse aparece en el siguiente grfico. 4, f = y = x y ( , para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). y z Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la funcin es nulo. 2 2 y , Supongamos ahora que f es una funcin de dos variables y g es . + = y = + , 2 y (3,32 ). endobj c , 2 El dominio de ff se compone de pares de coordenadas (x,y)(x,y) que producen una ganancia no negativa: Se trata de un disco de radio 44 centrado en (3,2 ). y Halle los valores mximos y mnimos absolutos de f(x,y)=x2 +y2 2 y+1f(x,y)=x2 +y2 2 y+1 en la regin R={(x,y)|x2 +y2 4}.R={(x,y)|x2 +y2 4}. ) 1wpA4"3[L w8|ACKQA Eo,z[c?j9,;BD"s)mk7+lq)MQ=FV;?L|Txq3FmpC~78;MW?2jECC4mWC\V{AqxAXda_Mu^DliPQ%]L,(c<3Q r# y + y y Las funciones de dos variables tienen curvas de nivel, que se muestran como curvas en el plano xy.xy. x 2 = y En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. Podemos repetir la misma derivacin para valores de cc menos de 4.4. X57UnBGKJSl%hyCg@:k"$Tb y x 2 y 4 4 c y ) x c 2 PDF Hoja de problemas sobre funciones de ariasv ariables:v derivadas - UAH 2 y f y , Halla el volumen mximo de una caja rectangular con tres caras en los planos de coordenadas y un vrtice en el primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1. + Es un punto donde la ; Entonces, la Ecuacin 4.1 se convierte en. Cules son el dominio y el rango de f?f? , 2, g ; 2, z La Figura 4.10 muestra un mapa de lnea de contorno para f(x,y)f(x,y) utilizando los valores c=0,1,2 ,y3.c=0,1,2 ,y3. y y Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos x=4,x=0,x=4x=4,x=0,x=4 en tanto que y=4,y=0,y=4y=4,y=0,y=4 como se muestra en la siguiente figura. = f = 2 x y z El siguiente teorema lo hace. + 1 y La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuacin. e << /S /GoTo /D (subsection.5.4) >> PDF Problemas Resueltos de Funciones + 15 z y ( ) ; 2 2 Halle el punto en el plano 2 xy+2 z=162 xy+2 z=16 que est ms cerca del origen. = w 4 Utilice la tecnologa para graficar z=x2 y.z=x2 y. Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. = Ejercicio resuelto paso a paso.Descarga los apuntes en:http://goo.gl/xJ0qjmSuscrbete en: http. Dada una funcin f(x,y)f(x,y) y un nmero cc en el rango de f,af,a curva de nivel de una funcin de dos variables para el valor cc se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y)=c.f(x,y)=c. 62 0 superficie de nivel de una funcin de tres variables. x Las variables independientes x y y se consideran variables espaciales, y la variable t representa el tiempo. x = Supongamos que deseamos graficar la funcin z=(x,y).z=(x,y). ) ; x , x c + % + f z 3 y ) Con una funcin de dos variables, cada par ordenado (x,y)(x,y) en el dominio de la funcin se asigna a un nmero real z.z. 1. Todo el procedimiento consta de varios pasos, que se resumen en una estrategia de resolucin de problemas. x 2 e 100 xXKs6W(`FO-k;,Os%eCi-N3hHp?~]>IM:oj&&"`pP,}\N2YL,_{Lv,[CrIf}@aJQ3H%3Dj 4 Halle el punto de la superficie f(x,y)=x2 +y2 +10f(x,y)=x2 +y2 +10 ms cercano al plano x+2 yz=0.x+2 yz=0. 2 c , y [T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 )f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 ). 5 ( y y x , y debe atribuir a OpenStax. 2. , x En las dos primeras ecuaciones, la funcin desconocida u tiene tres variables independientes, t, x, y y, y c es una constante arbitraria. x ) 49 TspOM( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ([Y5-U[|$zo_'K + = + En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. PDF Problemas resueltos de c alculo en varias variables reales De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. = 1, g En este caso, es equivalente buscar los extremos de la funcion f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2, ya que si tenemos un punto que es extremo de f, tambien lo es de g. Debemos considerar dos multiplicadores de Lagrange, dado que hay dos restricciones: f = 1 g 1 + 2 g 2 . + , ( x 2 , 2 y 2 Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores crticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la funcin en sus puntos extremos. para cualquier z<16,z<16, podemos resolver la ecuacin f(x,y)=z:f(x,y)=z: Dado que z<16,z<16, sabemos que 16z>0,16z>0, por lo que la ecuacin anterior describe un crculo de radio 16z16z centrado en el punto (3,2 ). , Ejercicios Resueltos de Extremos de Funciones en Varias Variables (1 >> y 2 y , y 9 Luego la ecuacin queda. 3. y w !1AQaq"2B #3Rbr = 2022 OpenStax. x ( z ) 2 , En los siguientes ejercicios, halle los puntos crticos de la funcin utilizando tcnicas algebraicas (completando el cuadrado) o examinando la forma de la ecuacin. y El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. 12.2: Lmites y continuidad de las funciones multivariables + 120 x y 2 = ( ( ) ) ln y 6 5, f ) 2 x 8) La temperatura en cada punto (x;y) de un plano viene dada por una funci on T(x;y). Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio de la funcin h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4.h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4. ( , Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. 2 + 4 x ) 2 x + x Cada lnea de contorno corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevacin (Figura 4.7). ) , , ( 2 y 2 x e Las derivadas parciales El gradiente y las derivadas direccionales La derivada parcial y el gradiente (artculos) Derivar curvas paramtricas La regla de la cadena multivariable La curvatura. Estas esquinas estn situadas en (0,0),(50,0),(50,25)y(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)y(0,25): El valor crtico mximo es 648,648, que se produce en (21,3).(21,3). C cC" Por lo tanto (21,3)(21,3) es un punto crtico de f.f. x Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. ,

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